解析几何

直线

1. 直线的倾斜角 $0\leqslant\theta<\pi$
2. 斜率 $$k=tan\theta=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ (当$l$垂直于$x$轴时, $\theta=\frac{\pi}{2}$, $k$不存在)

直线方程表示

1. 点斜式 $y-y_0=k(x-x_0)$
2. 斜截式 $y=kx+b$
3. 两点式 $$\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}$$
4. 一般式 $ax+by+c=0$ (ab不同时为0) 其中一般式 $l$ 一个法向量为 $\vec{n}=(a,b)$
5. 点法式 $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$

直线的位置关系

记两条直线:

$l_1: a_1x+b_1y+c_1z=0$ ($a_1$$b_1$不同时为0)

$l_2: a_2x+b_2y+c_2z=0$ ($a_2$$b_2$不同时为0)

1. 重合: 存在 $\lambda$ 使得 $a_1=\lambda a_2$, $b_1=\lambda b_2$, $c_1=\lambda c_2$
2. 平行: 存在 $\lambda$ 使得 $a_1=\lambda a_2$, $b_1=\lambda b_2$, $c_1\neq\lambda c_2$
3. 相交: $a_1b_2\neq a_2b_1$

当 $a_2$ $b_2$ $c_2$ 不为 0 时

1. 重合: $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}$$

2. 平行: $$\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}$$

3. 相交: $$\frac{a_1}{a_2}\neq\frac{b_1}{b_2}$$

4. 垂直: $a_1a_2+b_1b_2=0$, $k_1k_2=-1$

直线夹角

记$l_1$$l_2$夹角为$\theta$

1. $$cos\theta = \frac{|a_1a_2+b_1b_2|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$$

   通过 $\vec{n_1}=(a_1,b_1), \vec{n_2}=(a_2,b_2)$ 的向量夹角得出直线夹角或其补角

2. $$tan\theta = |\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}|$$

   $$ tan\theta = tan(|\theta_1 - \theta_2|) = |\frac{tan\theta_1 - tan\theta_2}{1+tan\theta_1 tan\theta_2}| = |\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}| $$

点到直线的距离

记 直线$l$: $ax+by+c=0$, 点$P(x_0,y_0)$

$$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$

通过点到直线的垂足得出

当两直线平行时 $l_1: a_1x+b_1y+c_1z=0$ ($a_1$$b_1$不同时为0)

$l_2: a_2x+b_2y+c_2z=0$ ($a_2$$b_2$不同时为0)

两直线间距离

$d=\frac{|c_1-c_2|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

直线解题技巧

1. 当直线中含参数时, 直线有定点 例 含参数 $m$, $n$ 时 $l: mx+ny+m=0$ 将直线转化为 $m(x+1)+ny=0$

   $$\left\{\begin{array}{} x+1=0\\\\ y=0 \end{array}\right.$$ 可得到直线过定点 $(-1,0)$

2. 共点直线系方程: 若直线 $l_1: A_1 x+B_1 y+C_1=0$ 与直线 $l_2: A_2 x+B_2 y+$ $C_2=0$ 相交于点 $S$, 则过这两条直线交点的直线系的方程是 $m\left(A_1 x+B_1 y+C_1\right)+$ $n\left(A_2 x+B_2 y+C_2\right)=0$ (其中 $m, n$ 是不同时为零的实数), 该直线系表示了所有 过点 $S$ 的直线.

上述题可以用联立方程组求出交点解决,不必一定使用此方法

圆

圆的方程

1. 标准方程 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 其中圆心为 $(a,b)$, 半径为 $r$ 当圆与 $x$ 轴相切时, $|b|=r$ 当圆与 $y$ 轴相切时, $|a|=r$ 当圆与 $x$, $y$ 相切时, $|a|=|b|=r$
2. 一般方程 $x^2+y^2+D x+E y+F=0$ 配方后得 $$\left(x+\frac{D}{2}\right)^2+\left(y+\frac{E}{2}\right)^2=\frac{D^2+E^2-4 F}{4}$$ 当 $D^2+E^2-4 F>0$ 时, 方程表示以 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$ 为圆心, $\frac{\sqrt{D^2+E^2-4 F}}{2}$ 为半径的圆 当 $D^2+E^2-4 F=0$ 时, 方程表示一个点 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$ 当 $D^2+E^2-4 F<0$ 时, 方程无图像

点与圆的位置关系

为点到圆心的位置关系与半径 $r$ 相比较 C $(a, b)$ 为圆心, $r$ 为半径, $P(x, y)$ 为点 $d=\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}$ $d<r$ 在圆内 $d=r$ 在圆上 $d>r$ 在圆外

直线与圆的位置关系

1. 上表中, 直线 $l: A x+B y+C=0\left(A^2+B^2 \neq 0\right)$ 和圆 $C: (x-a)^2+$ $(y-b)^2=r^2$ $$d=\frac{|A a+B b+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$ ( 圆心 $C$ 到直线 $l$ 的距离 )

2. 当直线 $l$ 与坐标轴不垂直时, 将直线 $l$ 和圆 $C$ 的方程联立消去 $y$ 后得 到一个关于 $x$ 的一元二次方程, 其判别式记为 $\Delta$. 当直线与 $x$ 轴垂直时, 消去 $x$; 当直线与 $y$ 轴垂直时, 消去 $y$

圆与圆的位置关系

方法1

$\begin{aligned} & C_1:\left(x-a_1\right)^2+\left(y-b_1\right)^2=r_1^2 \\ & C_2:\left(x-a_2\right)^2+\left(y-b_2\right)^2=r_2^2\end{aligned}$ 圆心距 $d=\sqrt{\left(a_1-a_2\right)^2+\left(b_1-b_2\right)^2}$

当 $d<\left|r_1-r_2\right|$ 时, 两圆内含; 当 $d=\left|r_1-r_2\right|$ 时，两圆内切； 当 $\left|r_1-r_2\right|<d<r_1+r_2$ 时, 两圆相交; 当 $d=r_1+r_2$ 时, 两圆外切; 当 $d>r_1+r_2$ 时, 两圆外离.

方法2

$\begin{aligned} & C_1: x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1=0 \\ & C_2: x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2=0\end{aligned}$ 联立方程组 $$\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+D_1 x+E_1 y+F_1=0 \\ x^2+y^2+D_2 x+E_2 y+F_2=0\end{array}\right.$$ 得 $$\left(D_1-D_2\right) x+\left(E_1-E_2\right) y+\left(F_1-F_2\right)=0$$ 两组解, 相交 一组解, 内切或外切 若无解, 内含或外离

圆解题技巧

1. 圆上的弦长 $l$: $(\frac{l}{2})^2 + d^2 = r^2$

椭圆 && 双曲线

注意事项 a, b, c > 0

双曲线与直线位置关系

判断点在椭圆/双曲线内外

椭圆&&双曲线解题技巧

1. 弦长公式 (适用于直线与任意曲线) 直线 $l$ 与 曲线 $c$ 交于 $A$ 和 $B$ $$\left\{\begin{matrix} l: y=k x + b \\ c: a x^2 + b y^2 + c x + d y + e = 0 \end{matrix}\right.$$ 带入消 $y$ 得 $ a x^2 + b x + c = 0$ 由一元二次方程计算得到 $\Delta$ 弦长 $$AB = \sqrt{1+k^2}|x_1-x_2| = \sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}$$
2. 焦点三角形

抛物线